题目内容

已知数列{an}中，an＞0，前n项的和为Sn，且满足Sn=(an+2)2.若数列{bn}满足bn=(t-1)(t＞1),Tn为数列{bn}的前n项的和，求Tn.

解：∵Sn=(an+2)2,

∴Sn-1=(an-1+2)2.

∴Sn-Sn-1=(an+2)2-(an-1+2)2.

∴Sn-Sn-1=(an+an-1+4)(an-an-1).

∴8an=(an+an-1+4)(an-an-1).

∴8an=an2-an-12+4an-4an-1.

∴an2-an-12-4an-4an-1=0.

∴(an-an-1-4)(an+an-1)=0.

∵an＞0,∴an-an-1-4=0.

∴an-an-1=4.

∴数列{an}是公差为4的等差数列.

∵a1=(a1+2)2,

∴a1=2.

∴an=a1+(n-1)×4=4n-2.

∴bn==(t-1)n.

∴Tn=(t-1)(t-1)(t≠2),Tn=n(t=2).

∴Tn=(t-1).

当1＜t＜2时,Tn=;

当t≥2时,无极限.

练习册系列答案
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已知数列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，则
lim
n→∞
an=
 
．
已知数列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，则{an}的通项公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．
已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{
2n
an
}的前n项和Tn．
已知数列{an}中，a1=
1
2
，Sn为数列的前n项和，且Sn与
1
an
的一个等比中项为n(n∈N*），则
lim
n→∞
Sn=
1
1
．
已知数列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列{an}的通项公式为（　　）
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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