Question

如图，在各棱长均为的三棱柱中，侧面底面，．

（1）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；
（2）已知点满足，在直线上是否存在点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）存在点，使.

试题分析：（1）首先根据几何体的性质建立空间直角坐标系，利用“侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角”，借助向量夹角公式进行计算；（2）假设存在点P满足，设出其坐标，然后根据建立等量关系，确定P点坐标即可.
试题解析：（1)∵侧面底面，作于点，∴平面．
又，且各棱长都相等，∴，，．                                              2分

故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，
∴，，
．  4分
设平面的法向量为，
则   
解得．由．
而侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角，
∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为                 6分
（2）∵，而 
∴
又∵，∴点的坐标为．
假设存在点符合题意，则点的坐标可设为，∴．
∵，为平面的法向量，
∴由，得．             10分
又平面，故存在点，
使，其坐标为，
即恰好为点．                  12分