Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a1=

1

2

，5S_n=7a_n-a_n-1+5S_n-1（n≥2）；等差数列{b_n}，其中b₃=2，b₅=6，．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若c_n=（b_n+3）a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵5S_n=7a_n-a_n-1+5S_n-1（n≥2）；
∴5S_n-5S_n-1=7a_n-a_n-1，
∴2a_n=a_n-1，

an

an-1

=

1

2

，
即数列{a_n}是公比q=

1

2

的等比数列，
∵a1=

1

2

，∴an=

1

2

(

1

2

)n-1=

1

2n

．
（2）在等差数列{b_n}，
∵b₃=2，b₅=6，
∴

b1+2d=2 b1+4d=6

，解得

b1=-2 d=2

，
∴b_n=-2+2（n-1）=2n-4，
∵c_n=（b_n+3）a_n，
∴c_n=（b_n+3）a_n=（2n-1）•

1

2n

∴

Tn=1× 1 2 +3× 1 22 +5× 1 23 +…+(2n-1)× 1 2n 1 2 Tn=1× 1 22 +3× 1 23 +…+(2n-3)× 1 2n +(2n-1)× 1 2n+1

，
两式作差得：
∴

1

2

Tn=

1

2

+2×(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-(2n-1)×

1

2n+1

=

1

2

+

2× 1 22 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(2n-1)×

1

2n+1

，
∴Tn=3-

2n+3

2n

．