Question

已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx．
（Ⅰ）若x∈[0，]，求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；
（Ⅱ）已知cos（β-α）=，cos（β+α）=-，0＜α＜β≤，求f（）的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x+），由 x∈[0，]，求得 ≤2x+≤，从而求得 f（x）的最大值以及最大值时相应的x的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系求出 sin（β-α）=，sin（β+α）=，再根据 f（）=sin2β=sin[（β+α）+（β-α）]，利用两角和的正弦公式求出结果．
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=cos²x+sinxcosx=+-=sin（2x+）．
∵x∈[0，]，∴≤2x+≤，∴-≤sin（2x+）≤1，∴f（x）的最大值为1，
此时，2x+=，x=，故f（x）取得最大值时相应的x的值为x=．
（Ⅱ）∵cos（β-α）=，cos（β+α）=-，0＜α＜β≤，∴sin（β-α）=，sin（β+α）=．
∴f（）=sin2β=sin[（β+α）+（β-α）]=sin（β+α）•cos（β-α）+cos（β+α）•sin（β-α）
=×+（-）×=．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的恒等变换及化简求值，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．