Question

已知A（-1，0）、B（3，0），M、N是圆O：x²+y²=1上的两个动点，且M、N关于x轴对称，直线AM与BN交于P点．
（1）求P点的轨迹C的方程；
（2）设动直线l：y=k（x+）与曲线C交于S、T两点．求证：无论k为何值时，以动弦ST为直径的圆总与定直线x=-相切．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定直线AM与BN的方程，可得M的坐标，代入圆的方程，即可求P点的轨迹C的方程；
（2）直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理确定ST的中点坐标，证明（中点到直线的距离），即可得到结论；另解：利用抛物线的定义，证明以ST为直径的圆与x=-总相切．
解答：（1）解：设M（x，y），则N（x，-y），P（x，y）（x≠-1且x≠3）
∵AM：y=①，BN：y=②
∴联立①②，解得（4分）
∵点M（x，y）在圆⊙O上，代入圆的方程：
整理：y²=-2（x+1）（x＜-1）（6分）
（2）证明：由
设S（x₁、y₁），T（x₂、y₂），ST的中点坐标（x、y）
则x₁+x₂=-（3+），x₁x₂=（8分）
∴
中点到直线的距离∵
∴
故圆与x=-总相切．（13分）
另解：∵y²=-2（x+1）知焦点坐标为（-，0）（2分）
顶点（-1，0），故准线x=-（4分）
设S、T到准线的距离为d₁，d₂，ST的中点O'，O'到x=-的距离为
又由抛物线定义：d₁+d₂=|ST|，∴
故以ST为直径的圆与x=-总相切（8分）
点评：本题考查代入法求轨迹方程，考查直线与抛物线，直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．