Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，顶点在A₁底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求证：A₁C₁⊥平面ABA₁B₁
（2）求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（3）在线段B₁C₁上确定一点P，使AP=，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明：因为 三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，得到A₁C₁⊥A₁B₁，因为顶点在A₁底面ABC上的射影恰为点B，得到A₁B⊥AC，利用线面垂直的判断定理得到证明．
（2）建立空间直角坐标系，求出，，利用向量的数量积公式求出棱AA₁与BC所成的角的大小；
（3）利用已知条件AP=求出p的坐标，求出平面P-AB-A₁的法向量为，而平面ABA₁的法向量=（1，0，0），利用向量的数量积公式求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．
解答：解：（1）证明：因为 三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，
所以A₁C₁⊥A₁B₁
因为顶点在A₁底面ABC上的射影恰为点B，
所以A₁B⊥AC
所以A₁B⊥A₁C₁
所以A₁C₁⊥平面ABA₁B₁…（4分）
（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则C（2，0，0），B（02，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），
所以，．
所以，
故AA₁与棱BC所成的角是．          …（8分）
（3）设，则P（2λ，4-2λ，2）．
于是，
解得
则P为棱B₁C₁的中点，其坐标为P（1，3，2）．                     …（10分）
设x，y，z），
则
令z=1故                               …（12分）
而平面ABA₁的法向量=（1，0，0），
则=
故二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值是．               …（14分）
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角及其度量和点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．