Question

已知椭圆的离心率为，以右焦点为圆心，椭圆长半轴为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）E、F是椭圆C上的两个动点，为定点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

（1）解：设椭圆的右焦点为（c，0）
∵以右焦点为圆心，椭圆长半轴为半径的圆与直线相切
∴
∵e=，
∴a=2c
∴，
∴c=1
∴a=2
∴b²=a²﹣c²=3
∴
（2）证明：设直线AE方程：得，
代入椭圆方程，消元可得（3+4k²）x²+4k（3﹣2k）x+4﹣12=0
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
因为点在椭圆上，所以x₁=，y₁=kx₁+﹣k．
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以﹣k代k，可得
x₂=，y₂=﹣kx₂++k．
所以直线EF的斜率k_EF==．
即直线EF的斜率为定值，其值为．