Question

平面内与两定点A₁（-a，0），A₂（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A₁、A₂两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．
（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
（Ⅱ）当m=-1时，对应的曲线为C₁；对给定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C₂，设F₁、F₂是C₂的两个焦点．试问：在C₁上，是否存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²．若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），求出直线A₁、MA₂M的斜率，并且求出它们的积，即可求出点M轨迹方程，根据圆、椭圆、双曲线的标准方程的形式，对m进行讨论，确定曲线的形状；（Ⅱ）由（I）知，当m=-1时，C₁方程为x²+y²=a²，当m∈（-1，0）∪（0，+∞）时，C₂的焦点分别为F₁（-a，0），F₂（a，0），假设在C₁上存在点N（x，y）（y≠0），使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，的充要条件为，求出点N的坐标，利用数量积和三角形面积公式可以求得tanF₁NF₂的值．
解答：解：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），
当x≠±a时，由条件可得，
即mx²-y²=ma²（x≠±a），
又A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐标满足mx²-y²=ma²．
当m＜-1时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；
当m=-1时，曲线C的方程为x²+y²=a²，C是圆心在原点的圆；
当-1＜m＜0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；
当m＞0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线；

（Ⅱ）由（I）知，当m=-1时，C₁方程为x²+y²=a²，
当m∈（-1，0）∪（0，+∞）时，C₂的焦点分别为F₁（-a，0），F₂（a，0），
对于给定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），C₁上存在点N（x，y）（y≠0），使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，
的充要条件为
由①得0＜|y|≤a，由②得|y|=，
当0＜≤a，即，或时，
存在点N，使S=|m|a²，
当，即，或时，不存在满足条件的点N．
当m∈[，0）∪（0，]时，由=（-a-x，-y），=（a-x，-y），
可得=x²-（1+m）a²+y²=-ma²．
令=r₁，||=r₂，∠F₁NF₂=θ，
则由=r₁r₂cosθ=-ma²，可得r₁r₂=，
从而s=r₁r₂sinθ==-，于是由S=|m|a²，
可得-=|m|a²，即tanθ=，
综上可得：当m∈[，0）时，在C₁上存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，且tanθ=2；
当m∈（0，]时，在C₁上存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，且tanθ=-2；
当时，不存在满足条件的点N．
点评：此题是个难题．考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想．其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．