Question

（2013•黄浦区二模）已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为2，且A1D=

13

．
（1）求该正四棱柱的体积；
（2）若E为线段A₁D的中点，求异面直线BE与AA₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由题意可得AA₁的长度，代入柱体的体积公式可得答案；（2）设G是棱AD中点，可得∠GEB就是异面直线AA₁与BE所成的角，由三角形的知识可得tan∠GEB=

2

3

5

，由反正切函数可得角的大小．

解答：解：（1）如图
在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AA₁⊥平面ABCD，AD

? ≠

平面ABCD，
∴AA₁⊥AD，故AA1=

13-4

=3，…（3分）
∴正四棱柱的体积为（2²）×3=12．  …（6分）
（2）设G是棱AD中点，连GE，GB，在△A₁AD中，
∵E，G分别为线段A₁D，AD的中点，
∴EG∥A₁A，且EG=

1

2

AA1=

3

2

，
∴∠GEB就是异面直线AA₁与BE所成的角． …（8分）
∵A₁A⊥平面ABCD，GB

? ≠

平面ABCD，∴AA₁⊥GB，
又EG∥A₁A，∴EG⊥BG，…（10分）
∵GE=

3

2

，BG=

1+22

=

5

，
∴tan∠GEB=

BG

GE

=

5

3 2

=

2

3

5

，故∠GEB=arctan

2 5

3

．
所以异面直线AA₁与BE所成角的大小为arctan

2 5

3

．      …（12分）

点评：本题考查棱柱的体积，以及异面直线所成的角，涉及反三角函数的应用，属中档题．