Question

函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），
（1）当a＞0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）当a＞3时，求对于任意实数k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）恒成立的x取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=-x（x-a）²，知f'（x）=-3x²+4ax-a²，令f'（x）=0，解得x=

a

3

或x=a．列表讨论，能求出函数f（x）的极大值和极小值．
（2）由a＞3，得

a

3

＞1，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．由f（x）在（-∞，1]上是减函数，知要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），只要cos²x-cosx≤k²-k对一切k∈[-1，0]恒成立．由此能求出使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）恒成立的x取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，
∴f'（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a），
令f'（x）=0，
解得x=

a

3

或x=a．…（3分）
∵a＞0，∴当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x	(-∞， a 3 )	a 3	( a 3 ，a)	a	（a，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

…（6分）
因此，函数f（x）在x=

a

3

处取得极小值f(

a

3

)，且f(

a

3

)=-

4

27

a3；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．…（8分）
（2）由a＞3，得

a

3

＞1，
当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．
由（1）知，f（x）在（-∞，1]上是减函数，
要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），
只要k-cosx≤k²-cos²x（x∈R），
即cos²x-cosx≤k²-k对一切k∈[-1，0]恒成立．
令g（k）=k²-k，当k∈[-1，0]，
g（k）_min=0，
∴cos²x-cosx≤0，解得0≤cosx≤1，
即2kπ-

π

2

≤x≤2kπ+

π

2

，k∈Z…（12分）

点评：本题考查求函数f（x）的极大值和极小值，求对于任意实数k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）恒成立的x取值范围．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．