Question

已知函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象经过点A（0，1）及B（

π

2

，1）两点．
（1）当x∈[0，

π

2

]时恒有|f（x）|≤2，求实数a的取值范围；
（2）当a取题（1）中a范围的最小整数值时，若存在实数m，n，φ，使mf（x）+nf（x-φ）=1对任意的x∈R恒成立，试求m，n，φ的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中条件，找到a，b，c之间的关系，可将函数解析式进行化简，然后分类讨论a取不同值时，|f（x）|≤2
的解集情况，综合讨论结果，即可得到答案．
（2）由题意可得a=-1，函数f（x）=-1+2

2

sin（x+

π

4

），2

2

msin（x+

π

4

）+2

2

n sin（x+

π

4

-∅）=1+m+n，对任意的x∈R恒成立，故有m=n=-

1

2

，且 sin（x+

π

4

）=-sin（x+

π

4

-∅），∅=2kπ+π，k∈z．

解答：解：（1）把点A（0，1）及B（

π

2

，1）的坐标代入函数f（x）=a+bcosx+csinx可得
1=a+b，1=a+c，∴b=1-a，c=1-a，故 f（x）=a+（1-a）（sinx+cosx）=a+

2

（1-a）sin（x+

π

4

）．
∵0≤x≤

π

2

，则

π

4

≤x+

π

4

≤

3π

4

，∴

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1．
当a＜1时，1≤f（x）≤

2

+（1-

2

）a，要使|f（x）|≤2，只须

2

+（1-

2

）a≤2，解得 a≥-

2

．
当 a＞1时，

2

+（1-

2

）a≤f（x）≤1，要使|f（x）|≤2，只须

2

+（1-

2

）a≥-2，解得 a≤4+3

2

，
故所求a的范围是-

2

≤a≤4+3

2

．
（2）当a取题（1）中a范围的最小整数值-1时，函数f（x）=-1+2

2

sin（x+

π

4

），
mf（x）+nf（x-φ）=1对任意的x∈R恒成立，即 m[-1+2

2

sin（x+

π

4

）]+n[-1+2

2

sin（x+

π

4

-∅）]=1，
即 2

2

msin（x+

π

4

）+2

2

n sin（x+

π

4

-∅）=1+m+n，对任意的x∈R恒成立．
故有m=n=-

1

2

，且 sin（x+

π

4

）=-sin（x+

π

4

-∅），∴∅=2kπ+π，k∈z．
综上，m=n=-

1

2

，∅=2kπ+π，k∈z．

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，函数的恒成立问题，将函数解析式变形成正弦函数的形式是解答本题的关键．