Question

已知a为实数，函数f（θ）=sinθ+a+3，g（θ）=

3(a-1)

sinθ+1

（θ∈R）．
（1）若f（θ）=cosθ，试求a的取值范围；
（2）若a＞1，求函数f（θ）+g（θ）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先令f（θ）=cosθ，得到关于a与θ的关系式sinθ-cosθ=-3-a，再由三角函数的辅角公式化简后可得答案．
（2）先表示出f（θ）+g（θ）的关系式，然后令sinθ+1=x将有关三角函数转化为一般函数的问题，再由基本不等式和函数的单调性解题．

解答：解：（1）∵f（θ）=cosθ，∴sinθ-cosθ=-3-a，
又sinθ-cosθ=

2

sin（θ-

π

4

），
∴-

2

≤3+a≤

2

，即a的取值范围是[-

2

-3，

2

-3]
（2）f（θ）+g（θ）=（sinθ+1）+

3(a-1)

sinθ+1

+a+2，令sinθ+1=x，则0＜x≤2，
∵a＞1
∴x+

3(a-1)

x

≥2

3(a-1)

，当且仅当x=

3(a-1)

时，等号成立
由

3(a-1)

≤2解得a≤

7

3

，
∴当1＜a≤

7

3

时，函数f（θ）+g（θ）的最小值是2

3(a-1)

+a+2；
下面求当a＞

7

3

时，函数f（θ）+g（θ）的最小值．
当a＞

7

3

时，

3(a-1)

＞2，函数h（x）=x+

3(a-1)

x

在（0，2]上为减函数．所以函数f（θ）+g（θ）的最小值为．
当a＞

7

3

时，函数h（x）=x+

3(a-1)

x

在（0，2]上为减函数的证明：任取0＜x₁＜x₂≤2，
h（x₂）-h（x₁）=（x₂-x₁）[1-

3(a-1)

x1x2

]，
因为0＜x₂x₁≤4，3（a-1）＞4，
所以1-

3(a-1)

x1x2

＜0，h（x₂）-h（x₁）＜0，
由单调性的定义函数h（x）=x+

3(a-1)

x

在（0，2]上为减函数．
于是，当1＜a≤

7

3

时，函数f（θ）+g（θ）的最小值是2

3(a-1)

+a+2；
当a＞

7

3

时，函数f（θ）+g（θ）的最小值

5(a+1)

2

．

点评：本题主要考查三角函数的辅角公式和基本不等式的应用以及函数单调性的应用．运用基本不等式时注意等号成立的条件以及运用函数单调性的时候要有适当的证明方有说服力．