Question

已知函数f（x）=xlnx．
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（II）若f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（III）过点A（-e^-2，0）作函数y=f（x）图象的切线，求切线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f′（x）=lnx+1，知f′（x）＜0得lnx＜-1，由此能求出函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由f（x）≥-x²+ax-6，得a≤lnx+x+

6

x

，设g(x)=lnx+x+

6

x

，则g′(x)=

x2+x-6

x2

=

(x+3)(x-2)

x2

，由此能求出g（x）最小值g（2）=5+ln2，从而能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）设切点T（x₀，y₀）则k_AT=f′（x₀），故

x0lnx0

x0+ 1 e2

=lnx0+1，由此能求出切线方程．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=lnx+1
∴f′（x）＜0得lnx＜-1 （2分）
∴0＜x＜

1

e

∴函数f（x）的单调递减区间是(0，

1

e

)； （4分）
（Ⅱ）∵f（x）≥-x²+ax-6即a≤lnx+x+

6

x

设g(x)=lnx+x+

6

x

，
则g′(x)=

x2+x-6

x2

=

(x+3)(x-2)

x2

 （7分）
当x∈（0，2）时g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当x∈（2，+∞）时g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
∴g（x）最小值g（2）=5+ln2，
∴实数a的取值范围是（-∞，5+ln2]； （10分）
（Ⅲ）设切点T（x₀，y₀）则k_AT=f′（x₀），
∴

x0lnx0

x0+ 1 e2

=lnx0+1即e²x₀+lnx₀+1=0
设h（x）=e²x+lnx+1，当x＞0时h′（x）＞0，
∴h（x）是单调递增函数 （13分）
∴h（x）=0最多只有一个根，
又h(

1

e2

)=e2×

1

e2

+ln

1

e2

+1=0，
∴x0=

1

e2

由f'（x₀）=-1得切线方程是x+y+

1

e2

=0． （16分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的灵活运用，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．