Question

（本小题满分12分）

已知正四棱锥P—ABCD的底面边长为4，侧面与底面所成的二面角为60°，E、F分别是侧棱PA、PD的中点．求：

（Ⅰ）直线BE与侧棱PC所成的角的大小；

（Ⅱ）AC与截面BCFE所成的角的大小。

Answer 1

解法1：（Ⅰ）分别取AD、BC中点M、N，连结PM交EF于G，连接PN、GN、MN.

则PM⊥AD，MN⊥AD.∠PMN是侧面与底面所成的二面角的平面角.

故∠PMN=60°，△PMN是等边三角形.   ………………………………………2分

设AC与MN的交点为O，连结OE，则OE∥PC，

∠ BEO是PC与BE所成的角.                             ………………4分

∵PO⊥BD，AC⊥BD，

∴BD⊥平面PAC，从而BO⊥OE， AB=4，则OB=2，OE=，      

tan∠BEO=，BE与PC所成的角为arctan；  ……………6分

（Ⅱ）过O作OH⊥GN于H，连接CH.

∵BC⊥MN，BC⊥PN，MN∩PN=N，

∴BC⊥平面PMN.                   ……………………8分  

∴平面BCFE⊥平面PMN.

∴OH⊥平面BCFE.

∠OCH是直线AC与平面BCFE所成的角.  ………………………………10分

在Rt△OCH中，OH=MG=1，OC=2， sin∠OCH =.

因此AC与平面BCFE所成的角为arcsin.    ……………………………………12分

 解法2：同方法一，得PN=PM=MN. …………………2分

建立空间直角坐标系如图，则A（2，-2，0），B（2，2，0），C（-2，2，0），

P（0，0，2），E（1，-1，），M（0，-2，0）.  3分

（Ⅰ）（-1，-3，），（-2，2，-2），

设BE与PC所成的角为θ，则cosθ== .

BE与PC所成的角为arccos；     ………………………………………………6分

（Ⅱ）是平面BCFE的一个法向量， （0，-2，-2），   …………8分

=（-4，4，0）. ………………………………………………………………………9分

设AC与平面BCFE所成的角为α，则sinα== .

AC与平面BCFE所成的角为arcsin.             ……………………………12分