Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是线段SD上任意一点．
（1）求证：AC⊥BE；
（2）若二面角C-AE-D的大小为60°，求线段ED的长．

Answer 1

分析：（1）以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，设DE=t，求出向量

AC

和

BE

的坐标，然后利用数量积为零证得AC⊥BE；
（2）取平面ADE的一个法向量为

n1

=（0，1，0）．设平面ACE的一个法向量为

n2

=（x，y，z），利用

AE

•

n2

=0，

AC

•

n2

=0求出

n2

，最后根据cos60°=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

2+ a2 t2

求出t，即可求出所求．

解答：解：（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0）．设DE=t，
则E（0，0，t）（2分）

AC

=(-a，a，0)，

BE

=（-a，-a，t），（4分）
∵

AC

•

BE

=a2-a2+0=0，∴AC⊥BE．（6分）
（2）取平面ADE的一个法向量为

n1

=（0，1，0）．（7分）
设平面ACE的一个法向量为

n2

=（x，y，z），，

AE

=（-a，0，t），
由

AE

•

n2

=0，

AC

•

n2

=0得

-ax+tz=0 -ax+ay=0

，
∴y=x，z=

a

t

x．取

n2

=(1，1，

a

t

)，（10分）
由cos60°=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

2+ a2 t2

（12分）
得t=

2

2

a，因此DE=

2

2

a．（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及利用空间向量的方法求证垂直和求距离等有关问题，属于中档题．