Question

若不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集不是空集,求实数a的取值范围.

Answer 1

解析:方法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间.?

当x＜3时,得(3-x)+(4-x)＜a,即x＞有解条件为＜3,即a＞1；?

当3≤x≤4时,得(3-x)+(4-x)＜a,即a＞1；?

当x＞4时,得(x-3)+(x-4)＜a,即x＜有解条件为＞4,即a＞1.?

因此上述三种情况,任一个成立,即可满足题意,故a的范围应是它们的并集,即a＞1.?

方法二:设数x、3、4在数轴上对应点分别为P、A、B,

由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|＜a何时成立.?

因为|AB|=1,故数轴上任一点到A、B距离之和均大于等于1,即|x-3|+|x-4|≥1,故当a＞1时,原不等式解集不是空集.