Question

已知数列{a_n}；a_n+1=-

1

2

an+

3

2

(n∈N+)且a₁=4，其前n项之和为S_n，则满足不等式|S_n-n-2|＜

1

2013

的最小整数n是

12

．

Answer 1

分析：由a_n+1=-

1

2

an+

3

2

(n∈N+)，得an+1-1=-

1

2

(an-1)，从而可知{a_n-1}为首项是3，公比为-

1

2

的等比数列，
由此可求得a_n，进而得到S_n，解不等式可得答案．

解答：解：由a_n+1=-

1

2

an+

3

2

(n∈N+)，得an+1-1=-

1

2

(an-1)，
又a₁=4，所以{a_n-1}为首项是3，公比为-

1

2

的等比数列，
则a_n-1=3•(-

1

2

)n-1，a_n=1+3•(-

1

2

)n-1，
所以S_n=n+3•

1-(- 1 2 )n

1-(- 1 2 )

=n+2-2(-

1

2

)n，
则|S_n-n-2|=

1

2n-1

，|S_n-n-2|＜

1

2013

，即

1

2n-1

＜

1

2013

，解得n＞11，
满足不等式|S_n-n-2|＜

1

2013

的最小整数n是12，
故答案为：12．

点评：本题考查由递推式求数列通项、数列求和及不等式等有关知识，解决本题的关键是通过构造数列求得a_n．