Question

（2012•鹰潭一模）在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥B-AEF，如图所示．
（Ⅰ）在三棱锥B-AEF中，求证：AB⊥EF；
（Ⅱ）求四棱锥E-AMNF的体积．

Answer 1

分析：（I）在三棱锥B-AEF中，因为AB⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，所以AB⊥平面BEF．由此能够证明AB⊥EF．
（II）因为在△ABF中，M、N分别为AB、BF的中点，所以四边形AMNF的面积是△ABF面积的

3

4

．因为三棱锥E-ABF与四棱锥E-AMNF的高相等，所以，四棱锥E-AMNF的体积是三棱锥E-ABF的体积的

3

4

，因为V_E-ABF=V_A-BEF，所以VE-AMNF=

3

4

VA-BEF．由此能够求出四棱锥E-AMNF的体积．

解答：（I）证明：在三棱锥B-AEF中，
因为AB⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，
所以AB⊥平面BEF．…..（3分）
又EF?平面BEF，
所以AB⊥EF．…..（6分）
（II）解：因为在△ABF中，M、N分别为AB、BF的中点，
所以四边形AMNF的面积是△ABF面积的

3

4

．…..（8分）
又三棱锥E-ABF与四棱锥E-AMNF的高相等，
所以，四棱锥E-AMNF的体积是三棱锥E-ABF的体积的

3

4

，
因为V_E-ABF=V_A-BEF，
所以VE-AMNF=

3

4

VA-BEF．…..（10分）
因为VA-BEF=

1

3

S△BEF•AB=

1

3

×

1

2

BE•BF•AB=

1

24

a3，
所以VE-AMNF=

3

4

×

1

24

a3=

1

32

a3，
故四棱锥E-AMNF的体积为

1

32

a3．…..（13分）

点评：本题考查在三棱锥B-AEF中，求证AB⊥EF，求四棱锥E-AMNF的体积．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．