Question

下列五个命题：
①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③命题“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题．
④椭圆

x2

m+1

+

y2

m

=1的两个焦点为F₁、F₂，P为椭圆上的动点，△PF₁F₂的面积的最大值2，则m的值为4．
其中是真命题的是

①②④

（填上你认为正确的命题的序号）．

Answer 1

分析：①若p则q的逆命题为若q则p，从而可写出①的逆命题，判断真假即可；
②写出命题“面积相等的三角形全等”的否命题，再判断其真假即可；
③写出命题“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题，再判断其真假；
④依题意，可求得m的值为4，从而可知④正确．

解答：解：①∵命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题为：“若x，y互为倒数，则xy=1”，显然正确；
②∵命题“面积相等的三角形全等”的否命题为“命题“面积不相等的三角形不全等”，正确；
③命题“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题是“若x≠0或y≠0，则xy≠0”错误，例如x=2，y=0，但2×0=0；
④依题意，c²=a²-b²=（m+1）-m=1，
∴c=1，2c=2，即|F₁F₂|=2；
∵S△PF1F2max=

1

2

|F₁F₂||

m

|=

1

2

×2×

m

=2，
∴m=4．
故④正确．
∴是真命题的是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查逆命题、否命题、逆否命题的应用，属于中档题．