Question

已知关于x的方程4x²-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值.

Answer 1

解:设Rt△ABC的两个锐角分别为A、B,则A+B=,cosA=sinB.

对于方程4x²-2(m+1)x+m=0,

Δ=4(m+1)²-16m=4(m-1)²≥0.

显然当m∈R时，方程总有两个实根.

又cosA+cosB=sinB+cosB=,                                                 ①

cosA·cosB=sinB·cosB=,                                                       ②

∴由①②及sin²B+cos²B=1,可得(sinB+cosB)²=1+2sinBcosB=1+2·=()².解之,得m=±.

当m=时，cosA+cosB=＞0,cosA·cosB=＞0,符合题意.当m=-时，cosA+cosB=＜0与A、B是锐角矛盾，舍去.故m=.