Question

在某海滨城市附近有一台风，据监测，当前台风中心位于城市)O(如图)东偏南θ(θ＝arccos)方向300km的海面P处，并以20km／h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10kw/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

Answer 1

答案：
解析：

热点分析　　本小题主要考查利用余弦定理解斜三角形的方法，根据所给条件选择适当坐标系和圆的方程等基础知识，考查运用所学知识解决实际问题能力． 　　解答　　解法一：设在时刻t(h)台风中心为Q，此时台侵袭的圆形区域半径为10t＋60(km) 　　若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则 　　OQ≤10t＋60． 　　OQ2＝OP2＋PQ2－2·PQ·POcosOPQ． 　　由于PO＝300，PQ＝20t． 　　cos∠OPQ＝cos(θ－) 　　＝cosθcos＋sinθsin 　　＝×＋× 　　故OQ2＝(20t)2＋3002－t×20t×300× 　　＝202t2－9600t＋3002， 　　因此202t2－9600t＋3002≤(10t＋60)2， 　　即t2－36t＋288≤0， 　　解得12≤t≤24 　　答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭． 　　解法二：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向，在时刻t(h)台风中心P(，)的坐标为 　　 　　此时台风侵袭区域是 　　(x－)2＋(y－)2≤[r(t)]2 　　其中r(t)＝10t＋60 　　若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有 　　(0－)2＋(0－)2≤(10t＋60)2 　　即(300×－20×t)2＋(－300×＋20×t)2≤(10t＋60)2 　　即t2－36t＋288≤0， 　　解得12≤t≤24 　　答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭． 　　评析　　本题考查以解析思想方法解决改变圆范围的应用问题．