题目内容
（1）已知z的共轭复数是
，且z•
-3i•z=
，求z．
（2）已知z是虚数，求证：z+
为实数的充要条件是|z|=1．
| . |
| z |
| . |
| z |
| 10 |
| 1-3i |
（2）已知z是虚数，求证：z+
| 1 |
| z |
（1）设z=a+bi，（a，b∈R），则
=a-bi，代入z•
-3i•z=
，得a2+b2-3ai+3b=1+3i
故有
得
，
综上知z=-1，或z=-1-3i
（2）设z=a+bi，，（a，b∈R），
充分性：由|z|=1得z•
=1，即
=
，故z+
=2a，是实数
必要性：由z+
为实数，即a+bi+
=a+
+（b-
）i是实数，
即b-
=0，可得a2+b2=1，故有|z|=1
综上证明知，z+
为实数的充要条件是|z|=1
| . |
| z |
| . |
| z |
| 10 |
| 1-3i |
故有
|
|
综上知z=-1，或z=-1-3i
（2）设z=a+bi，，（a，b∈R），
充分性：由|z|=1得z•
| . |
| z |
| . |
| z |
| 1 |
| z |
| 1 |
| z |
必要性：由z+
| 1 |
| z |
| 1 |
| a+bi |
| a |
| a2+b2 |
| b |
| a2+b2 |
即b-
| b |
| a2+b2 |
综上证明知，z+
| 1 |
| z |
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