Question

已知f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1与x=

1

2

处都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若对x∈[

1

4

，1]时，f（x）＜c恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

（1）∵f(x)=2ax-

b

x

+lnx，∴f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

，
∵f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1与x=

1

2

处都取得极值，
∴f'（1）=0，f′(

1

2

)=0．∴

2a+b+1=0 2a+4b+2=0

，解得a=b=-

1

3

；
（2）由（1）可知f(x)=-

2

3

x+

1

3x

+lnx，
令f′(x)=-

2

3

-

1

3x2

+

1

x

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

=0，解得x=1或x=

1

2

，
∵x∈[

1

4

，1]，∴f（x）在[

1

4

，

1

2

]上单调递减，在[

1

2

，1]上单调递增．
f(

1

4

)=

7

6

-ln4，f(1)=-

1

3

，而f（

1

4

）-f（1）=（

7

6

-ln4）-（-

1

3

）=

3

2

-ln4＞0，
所以f（

1

4

）＞f（1），即f（x）在[

1

4

，1]上的最大值为

7

6

-ln4．
对x∈[

1

4

，1]时，f（x）＜c恒成立，等价于f（x）_max＜c，即

7

6

-ln4＜c，
所以实数c的取值范围为c＞

7

6

-ln4．