题目内容

设A，B分别为椭圆 $数学公式$ 的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点 $数学公式$ 在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：△MBP为钝角三角形．

解：（Ⅰ）由题意：2a=4，所以a=2，所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ；
又点 $\text{[math]}$ 在椭圆上，∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =1，∴b²=1；
故所求椭圆方程为： $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，A（-2，0），B（2，0），设P（4，t），M（x_M，y_M），
则直线PA的方程为： $\text{[math]}$ ，（t≠0）；
由 $\text{[math]}$ 得（9+t²）x²+4t²x+4t²-36=0；
因为直线PA与椭圆相交于异于A的点M，所以 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ；
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ；
从而 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
又M，B，P三点不共线，所以∠MBP为钝角；所以△MBP为钝角三角形．
分析：（Ⅰ）由椭圆的长轴长为4，得2a=4，即得a=2；又点 $\text{[math]}$ 在椭圆上，代入椭圆标准方程，可得b；从而得出方程．
（Ⅱ）设P（4，t）其中t≠0，直线AP与椭圆交于点M（异于A），由直线方程与椭圆方程组成方程组，得出点M的坐标；
由B，P，M三点坐标，得向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ＜0，知∠MBP是钝角；从而得出证明．
点评：本题（Ⅰ）考查了椭圆的基础知识，（Ⅱ）借助于求直线与椭圆相交时的交点，利用向量的数量积，来判断三角形的形状；要求有较高的计算能力，是中档题．