Question

在棱长为1的正方体A₁C中，M、N分别是棱A₁B₁、BB₁的中点，那么AM和CN所成角的余弦值为（　　）

• A．

  2

  5

• B．

  3

  5

• C．

  3

  2

• D．

  10

  10

Answer 1

分析：先建立空间直角坐标系，求出各对应点的坐标，进而求出向量

AM

，

CN

的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可求出结论．

解答：解：以D为原点，DA为X轴，DC为Y轴，DD₁为Z轴；建立空间直角坐标系：
则A（1，0，0），B（1，1，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C（0，1，0）；
∴M（1，

1

2

，1），N（1，1，

1

2

）；
∴

AM

=（0，

1

2

，1），

CN

=（1，0，

1

2

）．
∴cos＜

AM

，

CN

＞=

0×1+ 1 2 ×0+ 1 2 ×1

02+( 1 2 )2+12 • 12+02+( 1 2 )2

=

1 2

5 4

=

2

5

．
故AM和CN所成角的余弦值为

2

5

．
故选：A．

点评：本题主要考查利用空间向量求两异面直线间的夹角．利用空间向量求两异面直线间的夹角的关键在于求出两异面直线所在向量的坐标．