题目内容

已知二项式 $数学公式$ 的展开式中，前三项的系数成等差数列．
（1）求n；
（2）求展开式中的一次项；
（3）求展开式中所有项的二项式系数之和．

解：（1）前三项的系数为 $\text{[math]}$ ，…（1分）
由题设，得 $\text{[math]}$ ，…（2分）
即n²-9n+8=0，解得n=8或n=1（舍去）． …（4分）
（2） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，…（6分）
令 $\text{[math]}$ ，得r=4．…（8分）
所以展开式中的一次项为 $\text{[math]}$ ．…（10分）
（3）∵C₈⁰+C₈¹+C₈²+…+C₈⁸=2⁸=256，
∴所有项的二项式系数和为256．…（14分）
分析：（1）由题意二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中，前三项的系数成等差数列，可得出 $\text{[math]}$ ，解此方程求出n的值；
（2）由项的展开式 $\text{[math]}$ 整理得 $\text{[math]}$ ，令x的指数为1，解出r的值，即可求得一次项；
（3）二项式系数的和为C₈⁰+C₈¹+C₈²+…+C₈⁸的和，计算出它的值即得．
点评：本题考点二项式系数的性质，考查了二项式的项，等差数列的性质，二项式系数和的公式，解题的关键是熟练掌握二项式的性质及等差数列的性质，二项式的性质是一个非常重要的考点，也是每年高考的必考点，本题很典型，包括了二项式的主要性质，题后注意总结