Question

15．已知球O的体积等于$\frac{125π}{6}$，如果长方体的八个顶点都在球O的球面上，那么这个长方体的表面积的最大值等于50．

Answer 1

分析 求出球半径，设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是确定直径，推出长方体的表面积的表达式，然后求出最大值．

解答 解：∵球O的体积等于$\frac{125π}{6}$=$\frac{4π}{3}{R}^{3}$，
∴球O的半径R=$\frac{5}{2}$，
设长方体的三度为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，
由题意可知a²+b²+c²=5²=25，长方体的表面积为：2ab+2ac+2bc≤2a²+2b²+2c²=50；
当a=b=c时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大．
故答案为：50．

点评 本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力；注意利用基本不等式求最值时，正、定、等的条件的应用．