Question

给定数列a₁，a₂，…，a_n．对i=1，2，…，n-1，该数列前i项的最大值记为A_i，后n-i项a_i+1，a_i+2，…，a_n的最小值记为B_i，d_i=A_i-B_i．
（Ⅰ）设数列{a_n}为3，4，7，1，写出d₁，d₂，d₃的值；
（Ⅱ）设a₁，a₂，…，a_n（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a₁＞0．证明：d₁，d₂，d_n-1是等比数列．

Answer 1

分析：（I）利用新定义，可得d₁，d₂，d₃的值；
（Ⅱ）确定a₁，a₂，…，a_n是递增数列，利用定义证明

di+1

di

=q（i=1，2，…，n-2），可得结论．

解答：（I）解：由题意，d₁=3-1=2，d₂=4-1=3，d₃=7-1=6．
（II）证明：因为a₁＞0，公比q＞1，所以a₁，a₂，…，a_n是递增数列．
因此，对i=1，2，…，n-1，A_i=a_i，B_i=a_i+1．
于是对i=1，2，…，n-1，di=Ai-Bi=ai-ai+1=a1qi-1-a1qi=a1(1-q)qi-1．
因此d_i≠0且

di+1

di

=q（i=1，2，…，n-2），即d₁，d₂，d_n-1是等比数列．

点评：本题考查新定义，考查等比数列的证明，正确理解新定义是关键．