Question

给定数列a₁，a₂，……，a_n．对i＝1，2，3，…，n－1，该数列前i项的最大值记为A_i，后n－i项a_i+1，a_i+2，……，a_n的最小值记为B_i，d_i＝A_i－B_i．

(1)设数列{a_n}为3，4，7，1，写出d₁，d₂，d₃的值．

(2)设a₁，a₂，……，a_n(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a₁＞0，证明d₁，d₂，……，d_n－1是等比数列．

(3)设d₁，d₂，……，d_n－1是公差大于0的等差数列，且d₁＞0，证明a₁，a₂，……，a_n－1是等差数列．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)，， 　　(2)因为，，，()是公比大于的等比数列，且 　　所以 　　所以当时， 　　所以当时， 　　所以，，，是等比数列． 　　(3)若，，，是公差大于的等差数列，则 　　，，，应是递增数列，证明如下： 　　设是第一个使得的项，则 　　，，所以，与已知矛盾． 　　所以，，，，是递增数列 　　再证明数列中最小项，否则()，则 　　显然，否则，与矛盾 　　因而，此时考虑，矛盾 　　因此是数列中最小项 　　综上，() 　　于是，也即，，，是等差数列