Question

中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为

3

3

，且经过点Q（1，

2 3

3

）．若分别过椭圆的左右焦点F₁，F₂的动直线l₁、l₂相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k₁、k₂、k₃、k₄满足k₁+k₂=k₃+k₄． 
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则由题意

1 a2 + 4 3b2 =1 c a = 3 3 a2=b2+c2

解得即可；
（2）当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0）．当直线l₁、l₂斜率存在时，设斜率分别为m₁，m₂．可得l₁的方程为y=m₁（x+1），l₂的方程为y=m₂（x-1）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），与椭圆方程联立即可得出根与系数的关系，再利用斜率计算公式和已知即可得出m₁与m₂的关系，进而得出答案．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
则由题意

1 a2 + 4 3b2 =1 c a = 3 3 a2=b2+c2

解得

a2=3 b2=2，c=1

∴椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0）．
当直线l₁、l₂斜率存在时，设斜率分别为m₁，m₂．
∴l₁的方程为y=m₁（x+1），l₂的方程为y=m₂（x-1）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
联立

y=m1(x+1) x2 3 + y2 2 =1

，得到(2+3

m

2 1

)x2+6

m

2 1

x+3

m

2 1

-6=0，
∴x1+x2=-

6 m 2 1

2+3 m 2 1

，x1x2=

3 m 2 1 -6

2+3 m 2 1

．
同理x3+x4=

6 m 2 2

2+3 m 2 2

，x3x4=

3 m 2 2 -6

2+3 m 2 2

．（*）
∵k1=

y1

x1

=

m1(x1+1)

x1

=m1+

m1

x1

，k2=m1+

m1

x2

，k3=m2-

m2

x3

，k4=m2-

m2

x4

．
又满足k₁+k₂=k₃+k₄．
∴2m1+m1•

x1+x2

x1x2

=2m₂-m2•

x3+x4

x3x4

，
把（*）代入上式化为：2m1+m1•

-2 m 2 1

m 2 1 -2

=2m2-m2•

2 m 2 2

m 2 2 -2

．（m₁≠m₂）．
化为m₁m₂=-2．
设点P（x，y），则

y

x+1

•

y

x-1

=-2，（x≠±1）
化为

y2

2

+x2=1．
由当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0）也满足，
∴点P在椭圆上，则存在点M、N其坐标分别为（0，-1）、（0，1），使得|PM|+|PN|=2

2

为定值．

点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得出根与系数的关系、斜率计算公式等是解题的关键．