Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC₁与AB、AD、AA₁所成的角分别为α、β、γ，若α=β=60°，则γ=（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、90°

Answer 1

分析：分别求出AC₁与AB、AD、AA₁所成角的大小，根据长方体的体对角线与长方体棱长之间的关系进行求解即可．

解答：解：连结BC₁，A₁C₁，DC₁，则∠C₁AB，∠DAC₁，∠C₁AA₁，分别是AC₁与AB、AD、AA₁所成的角，
即∠C₁AB=α，∠DAC₁=β，∠C₁AA₁=γ，
则sinα=

BC1

AC1

，sinβ=

DC1

AC1

，sinγ=

A1C1

AC1

，
则sin²α+sin²β+sin²γ=

BC12+D C 2 1 +A1 C 2 1

A C 2 1

=

2(AB2+AD2+A A 2 1 )

A C 2 1

=2，
∴(

3

2

)2+(

3

2

)2+sin2γ=2，
∴sin2γ=2-

3

4

-

3

4

=

1

2

，
∴sinγ=

2

2

，即γ=45°，
故选：B．

点评：本题主要考查异面直线所成角的大小求法，利用长方体的体对角线与边长之间的关系是解决本题的关键．