Question

1-

1

2

C

1 n

+

1

3

C

2 n

-…+(-1)n

1

n+1

C

n n

=

 

．

Answer 1

分析：先根据组合数公式，可得

1

m

C_n^m-1=

1

n+1

C_n+1^m，进而结合题意，有则1=

1

n+1

C_n+1¹，

1

2

C_n¹=C_n+1²，…，

1

n+1

C_nⁿ=

1

n+1

C_n+1ⁿ⁺¹，再结合二项式定理，原式可变形为-

1

n+1

[（-1）¹C_n+1¹+（-1）²C_n+1²+（-1）³C_n+1³+…+（-1）ⁿ⁺¹C_n+1ⁿ⁺¹]
即-

1

n+1

[（1-1）ⁿ-1]，进而可得答案．

解答：解：

1

m

C_n^m-1=

1

m

n!

(m-1)!•(n-m+1)!

=

1

n+1

(n+1)!

m!•(n-m+1)!

=

1

n+1

C_n+1^m，
则1=

1

n+1

C_n+1¹，

1

2

C_n¹=C_n+1²，…，

1

n+1

C_nⁿ=

1

n+1

C_n+1ⁿ⁺¹，
则1-

1

2

C

1 n

+

1

3

C

2 n

-…+(-1)n

1

n+1

C

n n

=

1

n+1

[（-1）⁰C_n+1¹+（-1）¹C_n+1¹+（-1）²C_n+1³+…+（-1）ⁿC_n+1ⁿ⁺¹]
=-

1

n+1

[（-1）¹C_n+1¹+（-1）²C_n+1²+（-1）³C_n+1³+…+（-1）ⁿ⁺¹C_n+1ⁿ⁺¹]
=-

1

n+1

[（1-1）ⁿ-1]
=

1

n+1

．

点评：本题考查组合数公式的性质与二项式定理，解题时注意先根据组合数公式变形，进而根据二项式定理，整理可得答案．