题目内容

已知函数f（x）=ax²+lnx（x＞0）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）当a=0时，斜率为k的直线与曲线y=f（x）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，求证： $数学公式$ ．

解：（I） $\text{[math]}$ （x＞0）
（1）a≥0时，f'（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递增
（2）当a＜0时，由 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$
考虑到x＞0，得f（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递增，在 $\text{[math]}$ 上单调递减．
（II）a=0时， $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，即证 $\text{[math]}$ （8分）
由于t＞1，令g（t）= $\text{[math]}$ ，所以g（t）＞g（1）=1，
即不等式 $\text{[math]}$ 成立，令 $\text{[math]}$
即lnt＜t-1，所以，不等式1- $\text{[math]}$ 成立，即得原不等式成立（14分）
分析：（I）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），讨论a的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（II）欲证 $\text{[math]}$ ，将k用 $\text{[math]}$ 代换，转化成 $\text{[math]}$ ，即证 $\text{[math]}$ ，然后利用导数研究研究单调性即可证得．
点评：本题主要考查了不等式的证明，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，属于基础题．