Question

【题目】某工艺品厂要设计一个如图Ⅰ所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图Ⅱ所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图Ⅰ的情况．如图，ABCD（AB＞AD）为长方形的材料，沿AC折叠后AB'交DC于点P，设△ADP的面积为
S2 ， 折叠后重合部分△ACP的面积为S1 ．
（Ⅰ）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（Ⅱ）求面积S2最大时，应怎样设计材料的长和宽？
（Ⅲ）求面积（S1+2S2）最大时，应怎样设计材料的长和宽？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意，AB=x，BC=2﹣x，因为x＞2﹣x，故1＜x＜2．
设DP=y，则PC=x﹣y，
因为△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，
由PA2=AD2+DP2 ， 得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2 ， ．
（Ⅱ）记△ADP的面积为S2 ， 则
= ，
当且仅当 时，S2取得最大值．
故当材料长为 ，宽为 时，S2最大．（Ⅲ） ，1＜x＜2．
于是 ，∴ ．
关于x的函数（S1+2S2）在 上递增，在 上递减，
所以当 时，S1+2S2取得最大值．
故当材料长为 m，宽为 m时，S1+2S2最大
【解析】（Ⅰ）设AB=xm，利用△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，结合PA2=AD2+DP2 ， 即可用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（Ⅱ）利用基本不等式求面积S2最大时，设计材料的长和宽；（Ⅲ）求面积（S1+2S2），利用导数确定函数的单调性，即可得出最大时，设计材料的长和宽．