Question

若f（x）=x²-2x+2，当x∈[t，t+1]时的最小值为g（t），并求函数g（t）当t∈[-3，-2]时的最值．

Answer 1

分析：主要是分三种情况（区间在对称轴的左边、右边、之间）讨论可得二次函数的最小值即得g（t）的函数表达式为分段函数，再对分段函数在[-3，-2]求出最值即可得．

解答：解：f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1
（1）当t+1≤1，即t≤0时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，
∴g（t）=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1    …3分
（2）当t＜1＜t+1，即0＜t＜1时，g（t）=f（1）=1     …5分
（3）当t≥1时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，
∴g（t）=f（t）=t²-2t+2     …8分
综上所述，g(t)=

t2+1 (t≤0) 1 (0＜t＜1) t2-2t+2 (t≥1)

    …10分
当t∈（-∞，0]时，g（t）=t²+1为减函数，
∴在[-3，-2]上，g（t）=t²+1也为减函数
∴g（t）_min=g（-2）=5，
g（t）_max=g（-3）=10．   …14分．

点评：本题考点是二次函数的图象，考查通过二次函数的图象求二次函数在闭区间上的最值，求解本题主要依据函数的单调性，要根据二次函数的图象判断出所研究区间的单调性，确定最值在那个位置取到，再求出最值，本题中所给的区间是一个不定的区间，故解题时要根据区间与对称轴的位置进行分类讨论，主要是分三种情况（区间在对称轴的左边、右边、之间），解题时注意总结分类讨论思想在求解本题中的作用．属于中档题．