Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1；数列{bn}满足bn－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N*)，b1＝1.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)求数列的前n项和Tn.

 

Answer 1

（1）an＝2n－1，bn＝（2）(n－1)·2n＋1.

【解析】(1)由Sn＝2an－1，得S1＝2a1－1，∴a1＝1.

又Sn＝2an－1，Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，

两式相减，得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，an＝2an－2an－1.

∴an＝2an－1，n≥2.∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．

∴an＝1·2n－1＝2n－1.

由bn－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N*)，得－＝1.

又b1＝1，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．

∴＝1＋(n－1)·1＝n.∴bn＝.

(2)由(1)可知＝n·2n－1，

∵Tn＝1·20＋2·21＋…＋n·2n－1，∴2Tn＝1·21＋2·22＋…＋n·2n.

两式相减，得－Tn＝1＋21＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝－1＋2n－n·2n.

∴Tn＝(n－1)·2n＋1