Question

已知数列{an}，a1=

5

2

，且满足an-2n=

an-1-2n-1

2an-1-2n+1

(n∈N且n≥2)，又bn=

1

an-2n

．
（1）证明：数列{b_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列c_n=na_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）把an-2n=

an-1-2n-1

2an-1-2n+1

取倒数得到b_n-b_n-1=2，从而得出{b_n}以2为首项，2为公差的等差数列，
根据等差数列通项公式可求得数列{b_n}的通项公式，进而求数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可求得数列{C_n}的通项公式，数列{c_n}中的n•2ⁿ由等差数列和等比数列构成，进而可用错位将减法求和．

解答：解：（1）把an-2n=

an-1-2n-1

2an-1-2n+1

取倒数得：

1

an-2n

=2+

1

an-1-2n-1

（n≥2）
又bn=

1

an-2n

，∴b_n-b_n-1=2，
∴{b_n}以2为首项，2为公差的等差数列，
∴b_n=2（n-1）+2=2n，
∴

1

an-2n

=2n，得an=

1

2n

+2n；
（2）∴C_n=na_n=

1

2

+n•2n，
T_n=（

1

2

+2）+（

1

2

+2•2²）+（

1

2

+3•23）+…+（

1

2

+n•2n）
=

n

2

+（1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）
记S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ①
2S_n=1×2²+2×2³+3×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹②
两式相减得S_n=-（2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹）=n×2ⁿ⁺¹-（2ⁿ⁺¹-2）=2+（n-1）2ⁿ⁺¹
∴T_n=2+

n

2

+（n-1）×2ⁿ⁺¹．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和求和问题．当出现由等比数列和等差数列构成的数列求和时，一般采用错位相减法．