Question

（文）如图，已知双曲线，F₁，F₂分别是它的左、右焦点，P₂P⊥F₁F₂，交双曲线于P点，连接F₁P交双曲线于另一点Q，分别与双曲线的渐近线交于A，B，且∠F₁PF₂=60°．
（1）求双曲线的离心率；（2）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）△F₁F₂P中，|F₁F₂|=2c∠F₁PF₂=60°，故，由此能求出双曲线的离心率．
（2）由e=，知b²=2a²，设双曲线方程为，直线PF₁：，则，由此能求出的值．
解答：解：（1）△F₁F₂P中，|F₁F₂|=2c∠F₁PF₂=60°
∴…（2分）
∴，
∴…（5分）
（2）∵，
∴b²=2a²，
设双曲线方程为，
即2x²-y²=2a²，①…（7分）
直线PF₁：，
即，②…（8分）
由①②得
∴…（11分）
再由双曲线的渐进线方程2x²-y²=0，
∴|AB|=，
∴．…（13分）
点评：题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．