Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1=

1

2

，a_n=-2S_n•S_n-1（n≥2）
（Ⅰ）证明：{

1

Sn

}为等差数列；
（Ⅱ）求a_n．

Answer 1

分析：（1）将已知a_n=S_n-S_n-1=-2S_n•S_n-1（n≥2）的两边同除以S_nS_n-1，利用等差数列定义证{

1

Sn

}为等差数列；
（2）利用等差数列的通项公式求出

1

Sn

，进而可求S_n，代入已知a_n=-2S_n•S_n-1可求．

解答：（I）证明：∵a_n=S_n-S_n-1=-2S_n•S_n-1（n≥2）
∴

1

Sn-1

-

1

Sn

=-2即

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
∵

1

S1

=

1

a1

=2
∴{

1

Sn

}是以2为首项，以2为公差的等差数列       
（2）∵

1

Sn

=2+2(n-1)=2n
∴Sn=

1

2n

∴a_n=-2S_n•S_n-1=-2 •

1

2n

•

1

2(n-1)

=

-1

2n(n-1)

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式，解答的关键是由a_n=S_n-S_n-1=-2S_n•S_n-1（n≥2）两边同除以S_nS_n-1