Question

已知函数f(x)＝alnx―ax―3(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意t∈[1，2]，

函数g(x)＝x³＋x²[(x)＋]在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)＝．　∵x＞0，1分 　　当a＞0时，f(x)的单调增区间为(0，1)，单调减区间为(1，＋∞)；2分 　　当a＜0时，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0，1)．3分 　　(2)∵函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1， 　　∴，解得a＝－2．4分 　　∴， 　　∴． 　　∴．5分 　　令，即． 　　∵Δ＝， 　　∴方程有两个实根且两根一正一负，即有且只有一个正根．6分 　　∵函数在区间(t，3)(其中t∈[1，2])上总不是单调函数， 　　∴方程在上有且只有一个实数根．7分 　　又∵，∴，． 　　∴，且．8分 　　∵，∴， 　　令，则，即在上单调递减． 　　∴，即．9分 　　∴． 　　综上可得，m的取值范围为．10分