题目内容
设函数f（x）=2cos2x+
sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[
]时，求f（x）的值域．
【答案】分析：（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x+
）+1，由此求得 函数f（x）的最小正周期，再令 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得x的范围，
即可得到函数的单调递增区间．
（Ⅱ）由 x∈[-
]求得2x+
的范围，可得sin（2x+
）的范围，从而求得f（x）的值域．
解答：解：（1）函数f（x）=2cos2x+
sin2x=cos2x+
sin2x+1=2sin（2x+
）+1，
∴函数f（x）的最小正周期为
=π．
令 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，解得 kπ-
≤x≤kπ+
，k∈z．
所以函数的单调递增区间是[kπ-
，kπ+
]k∈z．…（8分）
（Ⅱ）当 x∈[-
]时，-
≤2x+
≤
，
∴-
≤sin（2x+
）≤1，
∴f（x）的值域为[1-
，3]．…（12分）
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
）+1，由此求得 函数f（x）的最小正周期，再令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间．
（Ⅱ）由 x∈[-
]求得2x+的范围，可得sin（2x+）的范围，从而求得f（x）的值域．解答：解：（1）函数f（x）=2cos2x+
sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，∴函数f（x）的最小正周期为
=π．令 2kπ-
≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z．所以函数的单调递增区间是[kπ-
，kπ+]k∈z．…（8分）（Ⅱ）当 x∈[-
]时，-≤2x+≤，∴-
≤sin（2x+）≤1，∴f（x）的值域为[1-
，3]．…（12分）点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
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ax3+bx（a≠0），若f（3）=3f′（x0），则x0=（ ）
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