Question

已知各项均为正数的数列{a_n}，满足：a₁=3，且

2an+1-an

2an-an+1

=anan+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，Tn=

1

a 21

+

1

a 22

+…+a

1

a 2n

，求S_n+T_n，并确定最小正整数n，使S_n+T_n为整数．

Answer 1

（1）条件可化为an+1-

1

an+1

=2(an-

1

an

)，
因此{an-

1

an

}为一个等比数列，其公比为2，首项为a1-

1

a1

=

8

3

，
所以an-

1

an

=

8

3

×2n-1=

2n+2

3

(n∈N*)1°
因a_n＞0，由1°式解出a_n=

1

3

(2n+1+

22n+2+9

)2°
（2）由1°式有S_n+T_n=(a1-

1

a1

)2+(a2-

1

a2

)2+…+(an-

1

an

)2+2n
=(

23

3

)2+(

24

3

)2+(

25

3

)2++(

2n+2

3

)2+2n
=

64

27

(4n-1)+2n(n∈N*)
为使S_n+T_n=

64

27

(4n-1)+2n(n∈N*)为整数，
当且仅当

4n-1

27

为整数．
当n=1，2时，显然S_n+T_n不为整数，
当n³3时，4ⁿ-1=（1+3）ⁿ-1=C_n¹×3+C_n²×3²+3³（C_n³++3^n-3C_nⁿ）
∴只需

3 C 1n +32 C 2n

27

=

n

9

•

3n-1

2

为整数，
因为3n-1与3互质，
所以为9的整数倍．
当n=9时，

n

9

•

3n-1

2

=13为整数，
故n的最小值为9．