Question

已知函数 f（x）=6lnx（x＞0）和 g（x）=ax²+8x（a为常数）的图象在x=3 处有平行切线．
（1）求 a 的值；
（2）求函数F（x）=f（x）-g（x）的极大值和极小值．

Answer 1

（1）f′（x）=

6

x

，g′（x）=2ax+8，------------------（2分）
根据题意，得f′（3）=g′（3）
解得a=-1----------------------------------------------（4分）
（2）F（x）=f（x）-g（x）=6lnx+x²-8x-------------------（5分）
令F′（x）=

6

x

+2x-8，----------------------------------（5分）
得 x=1，3------------------------------------------------（7分）
∵0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；--------------（8分）
1＜x＜3时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；------------------（9分）
x＞3时，F′（x）＞0，F（x）单调递增．----------------------（10分）
∴F（x） 的极大值为F（1）═-7，-------------------------（11分）
F（x） 的极小值为F（3）=-15+6ln 3-----------------------（12分）