Question

设函数f（x）=（x﹣1）²+blnx，其中b为常数．
（1）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）的有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式都成立．

Answer 1

解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），
∴当时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
（2）①由（Ⅰ）得，当时，函数f（x）在定义域上无极值点．
②时，有两个相同的解，
时，
∴时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上无极值点．
③当时，f'（x）=0有两个不同解，
∴（i）b≤0时，，， 此时f'（x），f（x）随x在定义域上的变化情况如表：

（ii）当时，0＜x₁＜x₂＜1 此时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

综上所述：当且仅当时f（x）有极值点；
当b≤0时，f（x）有惟一最小值点；
当时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点
（3）由（2）可知当b=﹣1时，函数f（x）=（x﹣1）²﹣lnx，
此时f（x）有惟一极小值点 且
令函数h（x）=（x﹣1）﹣lnx（x＞0）