Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，已知tanB=

1

2

，tanC=

1

3

，且最长边为

5

．
（1）求角A；（2）求△ABC最短边的长．

Answer 1

分析：（1）根据tanB和tanC的值判断出A为钝角，根据tanB求得sinB和cosB；根据tanC求得sinC和cosC，进而根据余弦函数的两角和公式求得cosA，进而求得A．
（2）根据三个角的大小判断出c边最短，a边最长，进而根据正弦定理求得c．

解答：解：（1）∵tanB=

1

2

＜1
∴B＜45°，同理，C＜45°，
∴B+C＜90°，
∴A为钝角．
又tanB=

1

2

，
∴sinB=

1

5

，cosB=

2

5

；tanC=

1

3

，
∴sinC=

1

10

，cosC=

3

10

．
∴cosA=-cos(B+C)=-[cosBcosC-sinBsinC]=

1

5

•

1

10

-

2

5

•

3

10

=-

2

2

，
∴A=135°．
（2）∵C＜B＜A，
∴△ABC中最短边为c，最长边为a=

5

．
又

c

sinC

=

a

sinA

，

c

1 10

=

5

2 2

，
∴c=1．

点评：本题主要考查了同角的三角函数关系和正弦定理的应用．在处理三角形的角三角函数时，也特别留意函数值的正负号得判断．