题目内容

8．A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16
B组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

分析 设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（Ai）=P（Bi）=$\frac{1}{7}$，i=1，2，••，7
（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；
（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P（C）=10P（A4B1），易得答案；
（Ⅲ）由方差的公式可得．

解答 解：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，
由题意可知P（Ai）=P（Bi）=$\frac{1}{7}$，i=1，2，••，7
（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”
∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=$\frac{3}{7}$；
（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，
则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，
∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）+P（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）
=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=$\frac{10}{49}$
（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等．

点评 本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题．

练习册系列答案
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A．（$\frac{3}{2}$，3）B．（-3，3）C．（-3，$\frac{3}{2}$）D．（-1，3）
19．在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）距离的最大值是6．
16．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是24小时．
3．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（　　）
A．{x|-1＜x≤0}B．{x|-1≤x≤1}C．{x|-1＜x≤1}D．{x|-1＜x≤2}
13．若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则 card（E）+card（F）=（　　）
A．200B．150C．100D．50
20．某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（　　）
类别人数
老年教师900
中年教师1800
青年教师1600
合计4300
A．90B．100C．180D．300
17．已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（　　）
A．21B．42C．63D．84
18．已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，点A的极坐标为A（2$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$），则点A到直线l的距离为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

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