题目内容
12．已知数列{an}，{bn}满足a1=2，b1=1，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=\frac{3}{4}{a}_{n-1}+\frac{1}{4}{b}_{n-1}+1}\\{{b}_{n}=\frac{1}{4}{a}_{n-1}+\frac{3}{4}{b}_{n-1}+1}\end{array}\right.$，则（a4+b4）（a5-b5）=$\frac{9}{16}$．分析 由a1=2，b1=1，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=\frac{3}{4}{a}_{n-1}+\frac{1}{4}{b}_{n-1}+1}\\{{b}_{n}=\frac{1}{4}{a}_{n-1}+\frac{3}{4}{b}_{n-1}+1}\end{array}\right.$，可得an-bn=$\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-{b}_{n-1}）$，于是a5-b5=$（\frac{1}{2}）^{4}（{a}_{1}-{b}_{1}）$，同理可得：a4+b4=（a3+b3）+2=（a1+b1）+6，即可得出．
解答 解：∵a1=2，b1=1，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=\frac{3}{4}{a}_{n-1}+\frac{1}{4}{b}_{n-1}+1}\\{{b}_{n}=\frac{1}{4}{a}_{n-1}+\frac{3}{4}{b}_{n-1}+1}\end{array}\right.$，
∴an-bn=$\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-{b}_{n-1}）$，
∴a5-b5=$（\frac{1}{2}）^{4}（{a}_{1}-{b}_{1}）$=$\frac{1}{16}$；
同理可得：a4+b4=（a3+b3）+2=（a1+b1）+6=9，
则（a4+b4）（a5-b5）=$\frac{1}{16}$×9=$\frac{9}{16}$．
故答案为：$\frac{9}{16}$．
点评 本题考查了数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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