题目内容

已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x+1）=f（x-1），当x∈[-l，1）时，f(x)=
ax+1(-1≤x＜0)
x+b
x+1
(0≤x＜1)
（a，b＞0），若f(
1
3
)=f(
3
2
)，则
1
a
+
1
b
的最小值为（　　）
分析：先利用函数的性质及分段函数的解析式求出2a+3b=3，于是
1
a
+
1
b
=（
1
a
+
1
b
）×
1
3
（2a+3b），展开利用基本不等式的性质即可．
解答：解：由题意得，f（
3
2
）=f（
1
2
+1）=f（
1
2
-1）=f（-
1
2
）=-
1
2
a+1，
f（
1
3
）=
1
3
+b
1
3
+1
=
1+3b
4
，
由于f(
1
3
)=f(
3
2
)，
∴-
1
2
a+1=
1+3b
4
，即2a+3b=3，
则
1
a
+
1
b
=（
1
a
+
1
b
）×
1
3
（2a+3b）=
1
3
（5+
3b
a
+
2a
b
）≥
1
3
（5+2
6
）
当且仅当
3b
a
=
2a
b
时取等号，
故则
1
a
+
1
b
的最小值为
1
3
（5+2
6
）
故选C．
点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，基本不等式等．将原式乘1后再利用基本不等式是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ex，直线l的方程为y=kx+b．
（1）求过函数图象上的任一点P（t，f（t））的切线方程；
（2）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）成立，求实数k、b应满足的条件．
若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（1）若x2-1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab
ab
；
（3）已知函数f（x）的定义域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．
若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．
已知函数f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）证明函数y=f（x）的图象关于点（0，
1
2
）对称；
（Ⅱ）设y=f-1(x)为y=f(x)的反函数，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在实数b，使得任给a∈[
1
4
，
1
3
]，对任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范围；若不存在，说明理由．
（2012•海淀区一模）已知函数f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，则f（f（x））=
1
1

下面三个命题中，所有真命题的序号是
①②③
①②③
．
①函数f（x）是偶函数；
②任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立；
③存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．

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