题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+ $数学公式$ =0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足 $数学公式$ （O为坐标原点），当| $数学公式$ - $数学公式$ |＜ $数学公式$ 时，求实数t取值范围．

解：（Ⅰ）由题意知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
即a²=2b²．（2分）
又因为 $\text{[math]}$ ，所以a²=2， $\text{[math]}$ ．
故椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．（4分）
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由 $\text{[math]}$ 得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0， $\text{[math]}$ ．（6分）
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ∵ $\text{[math]}$ ∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∵点P在椭圆上，∴ $\text{[math]}$ ，∴16k²=t²（1+2k²）．（8分）
∵ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，∴ $\text{[math]}$ ．（10分）
∴ $\text{[math]}$ ，∵16k²=t²（1+2k²），∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，∴实数t取值范围为 $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（Ⅰ）由题意知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由 $\text{[math]}$ 得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0再由根的判别式和嘏达定理进行求解．
点评：本题考查椭圆方程的求法和求实数t取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用根的判别式和韦达定理进行解题．