题目内容

函数f（x）=2x²-2ax-2a-1（-1≤x≤1）的最小值为g（a）（a∈R）．
（1）求g（a）；
（2）若g（a）= $数学公式$ ，求a及此时f（x）的最大值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$
∴（ⅰ） $\text{[math]}$ ＜-1即a＜-2时，g（a）=1．
（ⅱ）-1≤ $\text{[math]}$ ≤1，即-2≤a≤2时，g（a）=- $\text{[math]}$ -2a-1
（ⅲ） $\text{[math]}$ ＞1即a＞2时，g（a）=-4a+1　　　
∴g（a）= $\text{[math]}$ 　　　　
（2）∵g（a）= $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ -2a-1= $\text{[math]}$ （-2≤a≤2），
∴a=1　　　　　　
此时， $\text{[math]}$
分析：（1）求得函数f（x）=2x²-2ax-2a-1（-1≤x≤1）的对称轴x= $\text{[math]}$ ，分区间[-1，1]在对称轴的左侧，右侧、对称轴穿过区间[-1，1]讨论即可求得f（x）的最小值为g（a）（a∈R）；
（2）根据g（a）= $\text{[math]}$ ，若g（a）= $\text{[math]}$ ，只有- $\text{[math]}$ -2a-1= $\text{[math]}$ （-2≤a≤2）符合，从而求得a，继而求得此时f（x）的最大值．
点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，求g（a）的关键在于根据对称轴在给定区间上的左侧、右侧及穿过区间的情况确定，属于中档题．

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